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韦达定理公式如何运用知识(没想到韦达定理可

孙健
生活小妙招
2021-08-21 09:15:02

  本文韦达定理公式如何运用知识(没想到韦达定理可,作者:孙健,本文有507个文字,大小约为3KB,预计阅读时间2分钟请您阅读。居家网平台有着众多优秀文章,欢迎浏览。居家网虽然不乏优秀之作,但仅作为参考,希望对各位有所帮助。  

  我们知道,如果x1。x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根,那么

  x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.

  这就是韦达定理,也称为根和系数的关系.

  韦达定理来自于求根公式,只需要在由求根公式得到的两个根中,把它们分别相加。相乘,再进行化简即可得.

  韦达定理用的最多的解决已知两根关系求字母系数的问题.很少人想到利用韦达定理也可以解方程.

  例如 已知x=2是方程x^2+x+k^2-3k-7=0的一个根,则另一个根是 .

  解析:不少人见到这个题想到的方法是根据根的定义,把x=2代入方程,得

  4+2+ k^2-3k-7=0,

  整理,得k^2-3k-1=0,

  接下来不够聪明的学生的做法是解这个方程,求得k的值后再代入,得已知方程为:

  x^2+x-6=0……

  比较聪明学生的做法是:k^2-3k-1=0,得:

  k^2-3k=1,

  直接代入方程,得:

  x^2+x-6=0……

  但不管聪明与不聪明,都需要再解方程x^2+x-6=0,才能求得另一个根为x=-3.

  而从韦达定理入手,设另一个根为m,则方程两根为2和m,

  由韦达定理中的两根和关系,得:

  2+m=-1,m=-3.

  所以,另一根为x=-3.

  再看如下几例:

  例1 已知x=3是方程x^2+(2k-1)x+6=0的一个根,求另一根及k的值.

  解:设另一根为m,则方程两根为3和m,

  所以3×m=6,m=2,

  所以3+2=-(2k-1),k=-2.

  所以,方程另一根为2,k的值为-2.

  例2 解方程:3x^2-7x+4=0.

  解析:观察方程系数3,-7,4,它们的和为0,

  即当x=1时,方程的左边等于右边,

  所以x=1是方程的一个根,

  设另一根为n,则

  1×n=4/3,n=4/3.

  所以x1=1,x2=4/3.

  例3 解方程:2x^2+3x+1=0.

  解:易知,x=-1时,方程的左边=2-3+1=0=右边,

  所以x=-1是方程的一个根,设另一根为n,则

  -1×n=1/2,n=-1/2.

  所以方程的根为x1=-1,x2=-1/2.

  例4 设a≠b,解关于x的方程:

  (a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0.

  解:易知,x=1满足方程,所以方程的一根为x=1,

  设另一根为n,则

  1×n=(c-a)/(a-b),n=(c-a)/(a-b).

  所以方程的根为x1=1,x2=(c-a)/(a-b).

  

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